L'année 2026 marque le centenaire de la mort d'Antoni Gaudí (1852-1926), l'architecte de la basilique de la Sagrada Família, à Barcelone. Si la beauté de l'édifice est déjà exceptionnelle en elle-même, elle gagne encore en profondeur lorsque l'on découvre les formes mathématiques qui sous-tendent son architecture singulière. En explorant les principes mathématiques qui structurent l'ensemble, l'harmonie visuelle du monument prend une nouvelle dimension, révélant une architecture où fonctionnalité, équilibre et cohérence se renforcent mutuellement.

Sans aucun doute, la personne qui a le plus profondément étudié les mathématiques de la Sagrada Família est Claudi Alsina Català. Formé en mathématiques à l'université de Barcelone, il a également dirigé la thèse de doctorat de l'actuel architecte en chef du chantier, Jordi Faulí.

Dans ses mémoires, Claudi Alsina Català écrit: «Tout le monde se demandait si la conception de la Sagrada Família reposait sur un module et un système de proportions guidant l'ensemble des relations métriques de l'édifice. […] Un samedi après-midi, assis à mon bureau, chez moi, avec tous les documents et toutes les données relatifs à ce mystérieux système de proportions –s'il existait vraiment…–, je l'ai découvert. Le module de 7,5 mètres et les rapports entre les diviseurs de 12 (1:4, 1:3, 1:2, 3:4, 2:3, 1) semblaient expliquer une multitude de choses.»

Le nombre 12, un élément central

Il n'est pas surprenant que le nombre 12 occupe une place centrale dans la structure de l'édifice. Antoni Gaudí a conçu la Sagrada Família comme une synthèse entre architecture et symbolisme religieux, et le 12 est omniprésent dans la Bible: les douze fils de Jacob, les douze tribus d'Israël, les douze apôtres ou encore la couronne de douze étoiles du Livre de l'Apocalypse n'en sont que quelques exemples.

Mais son intérêt ne se limite pas à sa portée symbolique. D'un point de vue mathématique, le 12 est un nombre particulièrement propice à l'établissement de proportions, car il possède de nombreux diviseurs. Ce sont précisément les rapports entre ces diviseurs qui, selon Claudi Alsina Català, expliquent une grande partie du système de proportions de la basilique. Au regard de ces fondements à la fois symboliques et mathématiques, le lien entre les éléments structurels et le nombre 12 n'a donc rien d'étonnant.

Le module de 7,5 mètres

En nous appuyant sur les travaux de Claudi Alsina Català, nous vous proposons une brève visite de la Sagrada Família sous un angle mathématique. Les dimensions du temple expiatoire sont étroitement liées au nombre 12 et à un module de 7,5 mètres. L'édifice mesure ainsi 90 mètres de long (7,5×12), 60 mètres de large (7,5×8), tandis que la nef principale atteint 45 mètres de largeur (7,5×6).

Les hauteurs obéissent au même principe: la voûte la plus élevée est celle de l'abside, avec 75 mètres (7,5×10), suivie de la voûte du transept, haute de 60 mètres (7,5×8). Viennent ensuite la voûte de la nef, à 45 mètres (7,5×6), celle des bas-côtés, à 30 mètres (7,5×4), et enfin le chœur, dont la hauteur est de 15 mètres (7,5×2).

En harmonie avec la colline de Montjuïc

La tour de Jésus est la tour centrale et la plus haute de la Sagrada Família. Avec ses 172,5 mètres (7,5×23), sa hauteur fait écho à celle de la colline de Montjuïc. Elle est surmontée d'une croix à quatre branches, haute de 17 mètres et large de 13,5 mètres. Autour d'elle s'élèvent les quatre tours des Évangélistes, qui culminent à 135 mètres (7,5×18).

Vue de l'extérieur de la Sagrada Família, avec la tour de Jésus-Christ au centre, en avril 2026, à Barcelone (Catalogne, Espagne). | Wikipsico43 / CC BY-SA 4.0 / Wikimedia Commons

Avec ses 138 mètres, la tour de Marie est la deuxième plus haute de la basilique. Elle est coiffée d'une étoile à douze branches reposant sur trois bras de soutien. D'un diamètre de 7,5 mètres, cette étoile est constituée d'un dodécaèdre régulier, dont chacune des faces est prolongée par une pointe pentagonale en forme de pyramide. Les reflets de la lumière du jour et son éclairage intérieur nocturne lui confèrent une beauté unique.

L'étoile au sommet de la tour de Marie de la Sagrada Família. | Canaan / CC BY-SA 4.0 / Wikimedia Commons

Des polyèdres au sommet des tours

Les polyèdres sont eux aussi omniprésents dans les tours de la Sagrada Família, comme l'explique cette étude de Claudi Alsina Català. Les quatre tours de la façade de la Gloire sont coiffées de dodécaèdres, celles de la façade de la Nativité d'octaèdres irréguliers tronqués et celles de la façade de la Passion de cubes tronqués.

Au sommet de chacune des douze tours s'élève un pinacle au-dessus des polyèdres. Les tours dédiées aux évangélistes sont couronnées d'icosaèdres réguliers (des solides composés de vingt faces) renfermant des projecteurs qui illuminent la grande croix dominant la tour de Jésus. Juste au-dessus de chaque icosaèdre se trouve une sculpture représentant symboliquement l'évangéliste correspondant. La basilique compte également de nombreux polyèdres étoilés, particulièrement sur la façade de la Nativité.

Les sommets de quelques-unes des tours de la Sagrada Família, en février 2024. | kallerna / CC BY-SA 4.0 / Wikimedia Commons

Ce ne sont pas des colonnes, c'est une forêt!

Les arcs en chaînette constituent l'un des principaux éléments structurels de la basilique. Cette forme est particulièrement efficace pour transmettre les charges vers le sol sans nécessiter d'autres éléments de soutien. On les retrouve dans le système de colonnes inclinées qui soutient les voûtes des nefs intérieures, dans les voûtes et les plafonds eux-mêmes, ainsi que sur la façade de la Nativité.

À l'intérieur de la Sagrada Família, on distingue quatre types de colonnes. Toutes sont des colonnes à torsion en double hélice. Leur base polygonale prend la forme d'une étoile aux contours arrondis et résulte de l'intersection de deux colonnes salomoniques opposées. Chacune se prolonge par un nœud d'où émergent plusieurs ramifications, semblables aux branches d'un arbre, qui soutiennent avec une remarquable efficacité les tours et la toiture de la basilique.

Les verrières du toit sont, elles aussi, des hyperboloïdes à une nappe. Comme elles sont constituées de lignes droites, leur construction est plus simple tout en optimisant la captation et la diffusion de la lumière.

Le symbolisme de deux nombres: 7 et 33

D'autres nombres dissimulés dans la Sagrada Família revêtent une forte portée symbolique. C'est le cas, par exemple, du baldaquin situé au-dessus du maître-autel, un heptagone régulier de 5 mètres de diamètre, dont les sept côtés représentent les sept dons du Saint-Esprit.

Sur la façade de la Passion figure également un carré magique dont toutes les lignes, colonnes et diagonales totalisent 33, un nombre aux évidentes connotations religieuses. Il semble s'inspirer du carré magique représenté dans la gravure Melencolia I, réalisée par l'artiste allemand Albrecht Dürer en 1514. Mettre au jour les mathématiques qui se cachent derrière la Sagrada Família ne fait qu'accroître la beauté de l'édifice et l'admiration que suscite le génie d'Antoni Gaudí.

Statue du baiser de Judas et carré magique sur la façade de la Passion de la Sagrada Família, en mai 2008. | Mathieu Brossais / CC BY 4.0 / Wikimedia Commons

Sergi Muria Maldonado est professeur de didactique des mathématiques à l'université de Barcelone (Catalogne, Espagne).

Anton Aubanell Pou est maître de conférences et professeur émérite à l'Institut de formation continue de l'université de Barcelone (Catalogne, Espagne).

Jordi Font González est professeur de didactique des mathématiques à l'université de Barcelone (Catalogne, Espagne).

Cet article est republié à partir de The Conversation sous licence Creative Commons. Lire l'article original.