Vieux de plus de deux millénaires, le théorème de Pythagore est l'un des piliers intemporels de la géométrie. Cette découverte a été initialement révélée fin 2023 et mérite qu'on s'y attarde au cas où vous seriez passé à côté. Deux étudiantes, Ne'Kiya Jackson et Calcea Johnson, ont en effet réussi à le démontrer d'une manière inédite, contournant un obstacle réputé infranchissable. Leur méthode a été reconnue par la communauté scientifique et publiée dans une revue de référence.

Un défi vieux de deux mille ans

Rappelons d'abord l'énoncé : le théorème permet de calculer la longueur de l'hypoténuse, le plus grand côté d'un triangle rectangle. Selon lui, le carré de cette hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Jusqu'ici, les démonstrations reposaient sur des méthodes géométriques ou algébriques. Aucune n'avait jamais été établie par la seule trigonométrie, et pour une bonne raison : les fonctions comme le sinus et le cosinus sont intimement liées au théorème lui-même. S'en servir pour le prouver reviendrait à un raisonnement circulaire, où l'on utilise ce que l'on cherche justement à démontrer.

La démonstration de Ne'Kiya Jackson et Calcea Johnson prouve que, même sur un sujet aussi ancien que Pythagore, les mathématiques réservent encore des découvertes. © Marekuliasz, iStock

L'idée de génie de deux lycéennes

C'est précisément ce piège que les deux jeunes filles ont déjoué dès 2022. Plutôt que de s'appuyer sur le théorème, elles sont reparties des principes fondamentaux de la géométrie : les propriétés des angles et les relations de proportionnalité.

Concrètement, elles ont d'abord construit des triangles rectangles et d'autres figures à partir de ces proportions. Elles ont ensuite redéfini les fonctions trigonométriques, sinus et cosinus, en s'appuyant sur les propriétés des angles de leurs figures, ce qui a permis d'établir des relations entre les longueurs des côtés.

En recourant à des identités trigonométriques, comme la célèbre « sin²(x) + cos²(x) = 1 », elles ont simplifié ces relations jusqu'à retomber, au terme de plusieurs étapes, sur l'équation « a² + b² = c² ». La preuve était faite : on pouvait démontrer Pythagore sans jamais l'invoquer.

Une reconnaissance immédiate

Après quatre ans de travail, Ne'Kiya Jackson et Calcea Johnson ont présenté leurs recherches lors de la conférence annuelle de la Mathematical Association of America, à Atlanta, en mars 2023. La communauté scientifique a aussitôt salué leur approche, qui leur a valu une publication dans la revue American Mathematical Monthly quelques mois plus tard.

Leur article ne se limite d'ailleurs pas à une seule démonstration : il en propose plusieurs, dont l'une permet à elle seule d'en générer cinq autres. Cette méthode pourrait ouvrir la voie à de nouvelles applications, en mathématiques pures comme appliquées, et inspirer d'autres chercheurs à revisiter des théorèmes pourtant solidement établis.

Une inspiration pour la jeunesse

Au-delà de la prouesse technique, les deux jeunes femmes espèrent transmettre un message. Cela montre que même des étudiants peuvent contribuer à l'avancement des connaissances, souligne Calcea Johnson, aujourd'hui en génie environnemental à l'université d'État de Louisiane. Ne'Kiya Jackson, désormais étudiante en pharmacie à l'université Xavier de Louisiane, ajoute qu'avec de la passion et de la persévérance, tout devient possible.

Leur démonstration le prouve : même sur un sujet aussi ancien que Pythagore, les mathématiques réservent encore des découvertes.